微积分初步

注意：本文讨论的都是在讨论区域上连续的函数

一：导数

定义：一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率

\(f(x)\) 的导数记为 \(f'(x)\)

我的理解是，一个函数的导数是它在一个极小的间隔 \(dx\) 内 \(f(x)\) 的变化量与间隔的比值, 即

\[ f'(x)=\frac{dy}{dx} \]

复合函数求导法则(链式法则)：

\[ (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\\ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\times \frac{dg}{dx} \]

常见的函数的导数：

\[ \begin{aligned} & (C)'=0\\ & (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}\\ & (e^x)'=e^x\\ & (a^x)'= e^{\ln a x} = (e^x)^{\ln a} = \ln a(e^{\ln a - 1})e^x = e^x\ln a(\frac{e^{\ln ax}}{e^x}) = a^x\ln a\\ & (\log_{a}^x)' = \frac{1}{x\ln a}\\ & \sin'(x)=\cos(x)\\ & \cos'(x)=-sin(x)\\ \end{aligned} \]

综合练习：求 \((x^x)'\)

\[ \begin{aligned} &(x^x)'\\ =&((e^{ln x})^x)'\\ =&(e^{xlnx})' \end{aligned} \]

令 \(f(x) = e^x, g(x) = xlnx\),

\[ \begin{aligned} &(x^x)'\\ =&f(g(x))\\ =&f'(xlnx)(xlnx)'\\ =&(e^{xlnx})(1\cdot lnx + \frac1x\cdot x)\\ =&(x^x)(1 + lnx)\\ \end{aligned} \]

二：微分

\[ \begin{aligned} d(f(x)) &= f'(x)\cdot dx\\ df &= \frac{df}{dx}\cdot dx \end{aligned} \]

一个函数的微分是指在一个极小的间隔 \(dx\) 函数值的变化量 \(df\) 。

三：积分

\[ \int_a^b f(x)dx \]

可以理解为在 \({\displaystyle \textstyle Oxy}\) 坐标平面上，由曲线 \({\displaystyle (x,f(x))}\)、直线 \({\displaystyle x=a,x=b}\) 以及 \({\displaystyle x}\) 轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）---

也可以认为是将 \([a, b]\) 分割成很多份底面长度为 \(dx\) 的部分，然后对应矩形相乘相加。

其中 \(\int_a^b\ dx\) 是积分符号，\(f(x)\) 是被积函数。

其中若 \(F'(x) = f(x)\) 则称 \(F(x)+C\) 为 \(f(x)\) 的原函数。

微积分基本定理：

\[\begin{aligned} 若有 F'(x) = f(x), 则\int_a^bf(x)dx=F(b) - F(a) \end{aligned}\]

证明:

\[ F(b) - F(a) = \int_a^b dF = \int_a^b \frac{dF}{dx}dx = \int_a^b F'(x)dx \]

然后就证完了。

所以积分与求导互为逆运算

例题：

一：

在一个长度为 \(L\) 的线段上随机选取两个点 \(A, B\) ，求这两点的期望距离 \(E(|\vec{AB}|)\) 。

解：

设线段的两个端点为 \((0,0)\) 与 \((L,0)\).

\[ \begin{aligned} E(|\vec{AB}|) = \int_0^L\int_0^L(\frac{dx}{L})\cdot (\frac{dy}{L})\cdot |x - y| \end{aligned} \]

其中 \((\frac{dx}{L})\) 是 \(A\) 点在 \((x, 0)\) 的概率，\((\frac{dy}{L})\) 为 \(B\) 点在 \((y, 0)\) 的概率。

由于 \(x>y\) 与 \(y>x\) 的情况各占一半,所以把式子写成这样：

\[ \begin{aligned} E(|\vec{AB}|) &= \frac2{L^2}[\int_0^L\int_0^x(x - y)\cdot dx\cdot dy]\\ &=\frac2{L^2}[\int_0^L\int_0^x(x\cdot dx - y\cdot dx)\cdot dy]\\ &=\frac2{L^2}[\int_0^L(x\cdot dx\cdot y - \frac12 \cdot dx\cdot y^2)|_0^x]\\ &=\frac2{L^2}(\int_0^L\frac12 x^2dx)\\ &=\frac2{L^2}(\frac16x^3)|_0^L\\ &=\frac2{L^2}(\frac16L^3)\\ &=\frac L3 \end{aligned} \]

在许多概率与期望的题中直接积分会简单很多。

未完待续\(\dots\)